Question

（本小題滿分12分）已知函數

（1）若函數無零點，求實數的取值范圍；

（2）若存在兩個實數且，滿足,，求證．

 

Answer 1

（1）；（2）詳見解析．

【解析】

試題分析：（1）根據題意可知，無零點等價于不存在實數，使得，因此考慮通過求導來求函數的值域：，∴在上單調遞增，在上單調遞減，

∴，而當時，，當時，，，∴的值域為，從而實數的取值范圍是；（2）由題意可知，，

從而問題等價于求證函數圖象關于直線的不對稱性，即等價于求證時，，通過構造輔助函數通過求導即可得證．

試題解析：（1）令，∴，∴在上單調遞增，在上單調遞減，∴，而當時，，當時，，，∴的值域為，∴實數的取值范圍是；（2）由（1）可知，，∵，

∴，∴在上單調遞增，上單調遞減，∴不妨設，

，令，設，

∴，令，

∴，∴在上單調遞增，∴，

即當時，，，故，

∴，，又∵，，，∴，

∴．

考點：導數的運用．