Question

已知橢圓的中心、上頂點、右焦點構成面積為1的等腰直角三角形．
（1）求橢圓的方程；
（2）若A、B分別是橢圓的左、右頂點，點M滿足MB⊥AB，連接AM，交橢圓于P點，試問：在x軸上是否存在異于點A的定點C，使得以MP為直徑的圓恒過直線BP、MC的交點，若存在，求出C點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意知解得b=c=，從而a=2．
∴橢圓方程為 （4分）
（2）A（-2，0），B（2，0），
可設直線AM的方程為y=k（x+2），P（x₁，y₁），MB⊥AB，∴M（2，4k），
直線AM代入橢圓方程x²+2y²=4，
得 （1+2k²）x²+8k²x+8k²-4=0（6分）
∴，
∴x₁=，
∴P（，），
設C（x₀，0），且x₀≠-2，以MP為直徑的圓恒過直線BP、MC的交點，則
MC⊥BP，∴=0，即：（2-x₀）+4k=，
∴x₀=0，
故存在異于點A的定點C（0，0），使得以MP為直徑的圓恒過直線BP、MC的交點．
分析：（1）由題意知解得b，c，從而a=2．最后寫出橢圓方程；
（2）可設直線AM的方程為y=k（x+2），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系求出P點的橫坐標x₁，再利用向量垂直即可求得C點的橫坐標x₀，從而解決問題．
點評：本題考查直線和橢圓的位置關系、考查存在性問題，解題時要認真審題，仔細解答．