Question

【題目】設{an}和{bn}是兩個等差數列，記cn=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，bn﹣ann}（n=1，2，3，…），其中max{x1 ， x2 ， …，xs}表示x1 ， x2 ， …，xs這s個數中最大的數．（13分）
（1）若an=n，bn=2n﹣1，求c1 ， c2 ， c3的值，并證明{cn}是等差數列；
（2）證明：或者對任意正數M，存在正整數m，當n≥m時， ＞M；或者存在正整數m，使得cm ， cm+1 ， cm+2 ， …是等差數列．

Answer 1

【答案】
（1）

解： a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，

當n=1時，c1=max{b1﹣a1}=max{0}=0，

當n=2時，c2=max{b1﹣2a1，b2﹣2a2}=max{﹣1，﹣1}=﹣1，

當n=3時，c3=max{b1﹣3a1，b2﹣3a2，b3﹣3a3}=max{﹣2，﹣3，﹣4}=﹣2，

下面證明：對n∈N*，且n≥2，都有cn=b1﹣na1，

當n∈N*，且2≤k≤n時，

則（bk﹣nak）﹣（b1﹣na1），

=[（2k﹣1）﹣nk]﹣1+n，

=（2k﹣2）﹣n（k﹣1），

=（k﹣1）（2﹣n），由k﹣1＞0，且2﹣n≤0，

則（bk﹣nak）﹣（b1﹣na1）≤0，則b1﹣na1≥bk﹣nak，

因此，對n∈N*，且n≥2，cn=b1﹣na1=1﹣n，

cn+1﹣cn=﹣1，

∴c2﹣c1=﹣1，

∴cn+1﹣cn=﹣1對n∈N*均成立，

∴數列{cn}是等差數列；

（2）

證明：設數列{an}和{bn}的公差分別為d1，d2，下面考慮的cn取值，

由b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，bn﹣ann，

考慮其中任意bi﹣ain，（i∈N*，且1≤i≤n），

則bi﹣ain=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n，

=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），

下面分d1=0，d1＞0，d1＜0三種情況進行討論，

①若d1=0，則bi﹣ain═（b1﹣a1n）+（i﹣1）d2，

當若d2≤0，則（bi﹣ain）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）d2≤0，

則對于給定的正整數n而言，cn=b1﹣a1n，此時cn+1﹣cn=﹣a1，

∴數列{cn}是等差數列；

當d1＞0，（bi﹣ain）﹣（bn﹣ann）=（i﹣1）d2≤0，

則對于給定的正整數n而言，cn=bn﹣ann=bn﹣a1n，

此時cn+1﹣cn=d2﹣a1，

∴數列{cn}是等差數列；

此時取m=1，則c1，c2，…，是等差數列，命題成立；

②若d1＞0，則此時﹣d1n+d2為一個關于n的一次項系數為負數的一次函數，

故必存在m∈N*，使得n≥m時，﹣d1n+d2＜0，

則當n≥m時，（bi﹣ain）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n），

因此當n≥m時，cn=b1﹣a1n，

此時cn+1﹣cn=﹣a1，故數列{cn}從第m項開始為等差數列，命題成立；

③若d1＜0，此時﹣d1n+d2為一個關于n的一次項系數為正數的一次函數，

故必存在s∈N*，使得n≥s時，﹣d1n+d2＞0，

則當n≥s時，（bi﹣ain）﹣（bn﹣ann）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n），

因此，當n≥s時，cn=bn﹣ann，

此時= =﹣an+ ，

=﹣d2n+（d1﹣a1+d2）+ ，

令﹣d1=A＞0，d1﹣a1+d2=B，b1﹣d2=C，

下面證明： =An+B+ 對任意正整數M，存在正整數m，使得n≥m， ＞M，

若C≥0，取m=[ +1]，[x]表示不大于x的最大整數，

當n≥m時， ≥An+B≥Am+B=A[ +1]+B＞A +B=M，

此時命題成立；

若C＜0，取m=[ ]+1，

當n≥m時，

≥An+B+ ≥Am+B+C＞A +B+C ≥M﹣C﹣B+B+C=M，

此時命題成立，

因此對任意正數M，存在正整數m，使得當n≥m時， ＞M；

綜合以上三種情況，命題得證．

【解析】（1.）分別求得a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，代入即可求得c1 ， c2 ， c3；由（bk﹣nak）﹣（b1﹣na1）≤0，則b1﹣na1≥bk﹣nak ， 則cn=b1﹣na1=1﹣n，cn+1﹣cn=﹣1對n∈N*均成立；
（2.）由bi﹣ain=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），分類討論d1=0，d1＞0，d1＜0三種情況進行討論根據等差數列的性質，即可求得使得cm ， cm+1 ， cm+2 ， …是等差數列；設 =An+B+ 對任意正整數M，存在正整數m，使得n≥m， ＞M，分類討論，采用放縮法即可求得因此對任意正數M，存在正整數m，使得當n≥m時， ＞M．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用等差關系的確定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個數列就叫做等差數列．