Question

【題目】平面直角坐標系中，橢圓：（）的離心率是，拋物線：的焦點是的一個頂點．

（1）求橢圓的方程；

（2）設是上的動點，且位于第一象限，在點處的切線與交于不同的兩點，，線段的中點為，直線與過且垂直于軸的直線交于點．

（i）求證：點在定直線上；

（ii）直線與軸交于點，記△的面積為，△的面積為，求的最大值及取得最大值時點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）證明見解析，（ii）的最大值為，此時點的坐標為．

【解析】

試題分析：（1）運用橢圓的離心率公式和拋物線的焦點坐標，以及橢圓的，，的關系，解得，，

進而得到橢圓的方程；（2）（i）設，運用導數求得切線的斜率和方程，代入橢圓方程，運用韋達定理，可得中點的坐標，求得的方程，再令，可得．進而得到定直線；（ii）由直線的方程為，令，可得，運用三角形的面積公式，可得，，化簡整理，再，整理可得的二次方程，進而得到最大值及此時的坐標．

試題解析：（1）由題意知，可得，

因為拋物線的焦點為，所以，，

所以橢圓的方程為．

（2）（i）設（），由可得，

所以直線的斜率為，

因此直線的方程為，即，

設，，，聯立方程

得，

由，得且，

因此，

將其代入，得，

因為，所以直線方程為，

聯立方程得點的縱坐標為，

即點在定直線上．

（ii）由（i）知直線方程為，令，得，∴，

又，，，

所以，

，所以，

令，則，則，

當，即時，取得最大值，此時，滿足，

所以點的坐標為，因此的最大值為，此時點的坐標為．