【題目】已知數列
的前
項和為
，且滿足
．
（1）求證：數列為等比數列；
（2）若
，求
的前
項和
．
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】
試題分析：（1）利用
，化簡得
，故
是等比數列；（2）由于
，相等于一個等差數列乘以一個等比數列，所以考慮用錯位相減求和法求前
項和為
.
試題解析：
（1）當
時，
，解得
；．．．．．．．．．．．．．．．1分
當
時，
，兩式相減得
，．．．．．．．．．．．．．．．．3分
化簡得，所以數列
是首項為1，公比為-1的等比數列．．．．．．．．．．5分
（2）由（1）可得
，所以
，下提供三種求和方法供參考：．．．．．．．6分
【錯位相減法】
，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
兩式相減得
．．．．．．．．．．．．．．．．9分
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
所以數列
的前
項和．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
【并項求和法】/p>
當
為偶數時，
；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
當
為奇數時，
為偶數，
；．．．．．．．．．．．．11分
綜上，數列的前
項和
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
【裂項相消法】
因為
．．．．．．．．．．．．．．9分
所以
，
所以數列的前
項和
．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校從參加高一年級期末考試的學生中抽出60名學生，將其物理成績（均為整數）分成六段
， 
…
后畫出如下頻率分布直方圖.觀察圖形的信息，回答下列問題：
（Ⅰ）估計這次考試的眾數m與中位數n（結果保留一位小數）；
(Ⅱ) 估計這次考試的及格率（60分及以上為及格）和平均分.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某工廠第一季度某產品月生產量依次為10萬件，12萬件，13萬件，為了預測以后每個月的產量，以這3個月的產量為依據，用一個函數模擬該產品的月產量
（單位：萬件）與月份
的關系. 模擬函數
；模擬函數
.
（1）已知4月份的產量為萬件，問選用哪個函數作為模擬函數好？
（2）受工廠設備的影響，全年的每月產量都不超過15萬件，請選用合適的模擬函數預測6月份的產量.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（本小題滿分12分）
如圖，在五棱錐
中，
，且
.
（1）已知點
在線段
上，確定
的位置，使得
；
（2）點
分別在線段
上，若沿直線
將四邊形
向上翻折，
與
恰好重合，求直線
與平面
所成角的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某種產品的年銷售量
與該年廣告費用支出
有關，現收集了4組觀測數據列于下表：
| 1 | 4 | 5 | 6 |
| 30 | 40 | 60 | 50 |
現確定以廣告費用支出
為解釋變量，銷售量
為預報變量對這兩個變量進行統計分析.
（1）已知這兩個變量滿足線性相關關系，試建立
與
之間的回歸方程；
（2）假如2017年廣告費用支出為10萬元，請根據你得到的模型，預測該年的銷售量
.
（線性回歸方程系數公式
）.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某車間為了制作某個零件，需從一塊扇形的鋼板余料（如圖1）中按照圖2的方式裁剪一塊矩形鋼板
，其中頂點
、
在半徑
上，頂點
在半徑
上，頂點
在
上， 
， 
.設
，矩形
的面積為
.
（1）用含
的式子表示
， 
的長；
（2）試將
表示為
的函數；
（3）求
的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖,設P是圓
上的動點,點D是P在x軸上的投影，M為線段PD上一點,且
，
(1)當P在圓上運動時,求點M的軌跡C的方程；
(2)求過點(3,0)且斜率為
的直線被軌跡C所截線段的長度.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
滿足：①圓心在第一象限，截
軸所得弦長為2；②被
軸分成兩段圓弧，其弧長的比為
；③圓心到直線
的距離為
.
（Ⅰ）求圓
的方程；
（Ⅱ）若點
是直線
上的動點，過點
分別做圓
的兩條切線，切點分別為
， 
，求證：直線
過定點.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】平面直角坐標系
中，橢圓
：
（
）的離心率是
，拋物線
：
的焦點
是
的一個頂點．
（1）求橢圓
的方程；
（2）設
是
上的動點，且位于第一象限，
在點
處的切線
與
交于不同的兩點
，
，線段
的中點為
，直線
與過
且垂直于
軸的直線交于點
．
（i）求證：點
在定直線上；
（ii）直線
與
軸交于點
，記△
的面積為
，△
的面積為
，求
的最大值及取得最大值時點
的坐標．
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