Question

已知動點H到直線x-4=0的距離與到點（2，0）的距離之比為

2

．
（Ⅰ） 求動點H的軌跡E的方程；
（Ⅱ）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個交點A、B，且

OA

⊥

OB

？若存在，寫出該圓的方程，若不存在說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設動點H（x，y），

|x-4|

(x-2)2+y2

=

2

，由此能求出動點H的軌跡E的方程．
（Ⅱ）假設存在圓心在原點的圓使圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且

OA

⊥

OB

，當圓的切線不垂直x軸時，設該圓的切線方程為y=kx+m，與x²+2y²=8聯立方程得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，再由根的判別式和韋達定理能夠得到所求的圓．當切線的斜率不存在時，切線x=±

2 6

3

，與橢圓x²+2y²=8的兩個交點為(

2 6

3

，±

2 6

3

)或(-

2 6

3

，±

2 6

3

)，滿足

OA

⊥

OB

．由此知存在圓心在原點的圓使圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且

OA

⊥

OB

．

解答：解：（Ⅰ）設動點H（x，y）（1分）
∴

|x-4|

(x-2)2+y2

=

2

（3分）
∴動點H的軌跡E的方程為x²+2y²=8，（4分）
（Ⅱ）假設存在圓心在原點的圓使圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且

OA

⊥

OB

，
①當圓的切線不垂直x軸時，設該圓的切線方程為y=kx+m，
與x²+2y²=8聯立方程得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
∴△=8（8k²-m²+4）＞0，
∴x1+x2=-

4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-8

1+2k2

，（5分）
∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=

m2-8k2

1+2k2

，（6分）
∵

OA

⊥

OB

，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴

2m2-8

1+2k2

+

m2-8k2

1+2k2

=0，
∴3m²-8k²-8=0，
∴8k²=3m²-8，（7分）
∴對任意k，符合條件的m滿足

3m2-8≥0 3m2-8-m2+4＞0

，
∴m2≥

8

3

，即m≥

2 6

3

或m≤-

2 6

3

，（8分）
∵直線y=kx+m為圓心在原點的圓的一條切線，
∴所以圓的半徑為r=

|m|

1+k2

，
∴r2=

m2

1+k2

=

8(1+k2)

3(1+k2)

=

8

3

，
∴所求的圓為x2+y2=

8

3

，（9分）
此時該圓的切線y=kx+m都滿足m≥

2 6

3

或m≤-

2 6

3

，分
∴所求的圓為x2+y2=

8

3

，（10分）
②當切線的斜率不存在時，切線x=±

2 6

3

，
與橢圓x²+2y²=8的兩個交點為(

2 6

3

，±

2 6

3

)或(-

2 6

3

，±

2 6

3

)，
滿足

OA

⊥

OB

，（11分）
綜上，存在圓心在原點的圓使圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且

OA

⊥

OB

．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，合理地進行等價轉化，注意耐心地進行計算，避免不必要的錯誤．