Question

已知動點H到直線x-4=0的距離與到點（2，0）的距離之比為．
（Ⅰ） 求動點H的軌跡E的方程；
（Ⅱ）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個交點A、B，且？若存在，寫出該圓的方程，若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設動點H（x，y），，由此能求出動點H的軌跡E的方程．
（Ⅱ）假設存在圓心在原點的圓使圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且，當圓的切線不垂直x軸時，設該圓的切線方程為y=kx+m，與x²+2y²=8聯立方程得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，再由根的判別式和韋達定理能夠得到所求的圓．當切線的斜率不存在時，切線，與橢圓x²+2y²=8的兩個交點為或，滿足．由此知存在圓心在原點的圓使圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且．
解答：解：（Ⅰ）設動點H（x，y）（1分）
∴（3分）
∴動點H的軌跡E的方程為x²+2y²=8，（4分）
（Ⅱ）假設存在圓心在原點的圓使圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且，
①當圓的切線不垂直x軸時，設該圓的切線方程為y=kx+m，
與x²+2y²=8聯立方程得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
∴△=8（8k²-m²+4）＞0，
∴，（5分）
∴，（6分）
∵，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴，
∴3m²-8k²-8=0，
∴8k²=3m²-8，（7分）
∴對任意k，符合條件的m滿足，
∴，即或，（8分）
∵直線y=kx+m為圓心在原點的圓的一條切線，
∴所以圓的半徑為，
∴，
∴所求的圓為，（9分）
此時該圓的切線y=kx+m都滿足或，分
∴所求的圓為，（10分）
②當切線的斜率不存在時，切線，
與橢圓x²+2y²=8的兩個交點為或，
滿足，（11分）
綜上，存在圓心在原點的圓使圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，合理地進行等價轉化，注意耐心地進行計算，避免不必要的錯誤．