Question

【題目】函數f(x)＝a－2ln x(a∈R)．

(Ⅰ)當a＝2時，求曲線f(x)在x＝2處的切線方程；

(Ⅱ)若a>，且m，n分別為f(x)的極大值和極小值，S＝m－n，求證：S<.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)3x－2y－4ln 2＝0(Ⅱ)見解析

【解析】試題分析：(Ⅰ) 求出導數，計算可得到切線斜率，求出 可得切點坐標，利用點斜式即可求出切線方程；(Ⅱ) 設的兩根為，所以，求出，將的值代入的解析式，化簡，構造新函數，求導數，利用導數研究函數的單調性，應用單調性求最值，即可證明結論.

試題解析：(Ⅰ) f′(x)＝a＋－，若a＝2，則f′(2)＝2＋－＝，f(2)＝4－1－2ln 2＝3－2ln 2，則曲線f(x)在x＝2處的切線方程為y－(3－2ln 2)＝ (x－2)，化簡得3x－2y－4ln 2＝0.

(Ⅱ)f′(x)＝，令f′(x)＝0，得ax2－2x＋a＝0，

則Δ>0且<a，得<a<1，此時設f′(x)＝0的兩根為x1，x2(x1<x2)，

所以m＝f(x1)，n＝f(x2)．

因為x1x2＝1，所以x1<1<x2，由<a<1，

所以S＝m－n＝ax1－－2ln x1－(ax2－－2ln x2)

＝ax1－－2ln x1－(－ax1＋2ln x1)

＝2(ax1－－2ln x1)．

由a－2x1＋a＝0得a＝，

代入上式得S＝4(－lnx1)

＝4(－ln)．

令h(x)＝ax2－2x＋a，則h＝－＋a

＝a·－>·－＝－＝0，

x＝ 是拋物線h(x)的對稱軸．

∴<x1<1.

令＝t，所以<t<1，g(x)＝－ln x，則S＝4g(t)，

g'(x)＝<0，所以g(x)在≤x≤1上為減函數，

從而g(1)<g(t)<g()，即0<g(t)< ，所以S<.

【方法點晴】本題主要考查利用導數求曲線切線方程以及利用導數研究函數的單調性與極值，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導數，即在點 出的切線斜率（當曲線在處的切線與軸平行時，在 處導數不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.