Question

【題目】

設函數f（x）=alnx﹣bx2（x＞0）．

（1）若函數f（x）在x=1處于直線相切，求函數f（x）在上的最大值；

（2）當b=0時，若不等式f（x）≥m+x對所有的a∈[1，]，x∈[1，e2]都成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（﹣∞，2﹣e2]．

【解析】試題分析：（1）對函數求導，利用函數在處與相切，可得關于方程，求出，再利用導函數判斷函數在上的單調性，結合單調性求得函數最大值．（Ⅱ）用分離變量法，將原問題轉化為，對所有的，構造函數利用一次函數單調性，求出最小值，再進一步利用函數單調性，求出最小值后可得的范圍．

試題解析：（Ⅰ）∵f′（x）=﹣2bx，

又函數f（x）在x=1處與直線y=﹣相切，

∴，解得．

f（x）=lnx﹣x2，f′（x）=﹣x=﹣，

當x∈[，1），f′（x）＜0，f（x）遞增，

當x∈（1，e]，f′（x）＞0，f（x）遞減．

即有f（x）的最大值為f（1）=﹣；

（Ⅱ）當b=0時，f（x）=alnx，

若不等式f（x）≥m+x對所有的a∈[1，]，x∈[1，e2]都成立，

即m≤alnx﹣x對所有的a∈[1，]，x∈[1，e2]都成立，

令h（a）=alnx﹣x，則h（a）為一次函數，

∴m≤h（a）min．

∵x∈[1，e2]，∴lnx≥0，

∴h（a）在[1，]上單調遞增，

∴h（a）min=h（1）=lnx﹣x，

∴m≤lnx﹣x對所有的x∈（1，e2]都成立．

由y=lnx﹣x（1＜x≤e2）的導數為y′=﹣1＜0，

則函數y=lnx﹣x（1＜x≤e2）遞減，

∵1＜x≤e2，∴lnx﹣x≥2﹣e2，

則m≤2﹣e2．

則實數m的取值范圍為（﹣∞，2﹣e2]