Question

一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示：
（I）求證：PA⊥BD；
（II）連接AC、BD交于點O，在線段PD上是否存在一點Q，使直線OQ與平面ABCD所成的角為30°？若存在，求

|DQ|

|DP|

的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)線面垂直證明線線垂直即可；
（II）假設(shè)存在，先作出直線與平面所成的角，根據(jù)所成角的大小確定Q點的位置即可．

解答：解：（I）證明：由三視圖可知P-ABCD為正四棱錐，底面ABCD為正方形，且PA=PB=PC=PD，
連接AC、BD交于點O，連接PO．

∵BD⊥AC，BD⊥PO，
∴BD⊥平面PAC，PA?平面PAC，
∴BD⊥PA．
（II）由三視圖可知斜高為

7

，BC=2，PA=2

2

，假設(shè)存在這樣的點Q，
∵AC⊥OQ，AC⊥OD，又OQ∩OD=0，
∴AC⊥平面ODQ，過Q作QM⊥OD于M，則QM⊥平面ABCD，
∴∠DOQ為直線OQ與平面ABCD所成的角
在△POD中，PD=2

2

，OD=

2

，則∠PDO=60o，
在△DQO中，∠PDO=60o，且∠QOD=30o．
∴DP⊥OQ．
∴QD=

2

2

． 

DQ

DP

=

1

4

．
∴存在Q點，使直線OQ與平面ABCD所成的角為30°，

DQ

DP

=

1

4

．

點評：本題考查根據(jù)三視圖求直線與平面所成的角及直線與平面垂直的判定．正確運用三視圖的數(shù)據(jù)是解答本題的關(guān)鍵．