Question

【題目】設(shè)函數(shù)有兩個零點，，且.

（1）求的求值范圍；

（2）求證：.

Answer 1

【答案】(1);(2)見解析.

【解析】分析：（1）要保證函數(shù)有兩個不同的零點，，可分析函數(shù)的單調(diào)性然后根據(jù)題意找出兩個不同兩點所對應(yīng)的條件即可，對單調(diào)性的討論，注意a的影響；（2）由（1）可知，，是方程（）的兩個不等實根，也是方程的兩個不等實根，也是函數(shù)的兩個零點，且，故再構(gòu)造函數(shù)，只需分析出單調(diào)性即可得證.

（1）解法一：.

①當(dāng)時，，在上是增函數(shù)，不可能有兩個零點.

②當(dāng)時，由 ，解得，所以

若，則，所以在上是減函數(shù)；若，則，所以在上是增函數(shù).所以當(dāng)時，取得極小值，也是它的最小值.

.

因為，，所以若使有兩個零點，只需，解得.

綜上，實數(shù)的取值范圍是.

解法二：題意方程有兩個不等實根，易知其中，所以題意方程有兩個不等實根函數(shù)與的圖象有兩個不同的公共點.

設(shè)，則，所以當(dāng)或時，，所以在和上是減函數(shù)；當(dāng)，，所以在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時，取得極小值.

又因為，，，，在同一坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)與的圖象，如圖所示，觀察圖形可知當(dāng)時，二者有兩個不同的公共點.

所以實數(shù)的取值范圍是.

（2）證明：由（1）可知，，是方程（）的兩個不等實根，也是方程的兩個不等實根，也是函數(shù)的兩個零點，且.

因為，所以當(dāng)時，，所以在上是減函數(shù)；當(dāng)時，，所以在上是增函數(shù).

設(shè)，則 ，所以當(dāng)時，

，所以在上是減函數(shù)，所以 ，即，即，即.

又因為，所以，所以.