Question

【題目】已知橢圓的右焦點為，且點在橢圓上，為坐標原點

（1）求橢圓的標準方程

（2）過橢圓上異于其頂點的任一點，作圓的切線，切點分別為（不在坐標軸上），若直線的橫縱截距分別為，求證：為定值

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】

（1）由點在橢圓上列方程，結合即可求得，問題得解。

（2）設根據圓的切線可得，由此表示直線方程,將代入直線方程可得，同理可得，由此可得到兩點在直線上，即可求得直線的方程，由此表示出，結合即可證得結論，問題得解。

解：（1）將點代入橢圓的方程可得：，

又，解得：，

所以橢圓的標準方程為

（2）由（1）可得：

設

∴可知是過作圓切線所產生的切點弦

設，由是切點可得：

∴

∴直線方程，代入：，

即 ，同理可知對于，有

因為在圓上

∴ ∴

∴為直線上的點

因為兩點確定唯一一條直線

∴直線方程，即

由截距式可知

∴

∵在橢圓上

∴

∴

即為定值