Question

已知拋物線C的頂點為坐標原點，橢圓C′的對稱軸是坐標軸，拋物線C在x軸上的焦點恰好是橢圓C′的焦點
（Ⅰ）若拋物線C和橢圓C′都經過點M（1，2），求拋物線C和橢圓C′的方程；
（Ⅱ）已知動直線l過點p（3，0），交拋物線C于A，B兩點，直線l′：x=2被以AP為直徑的圓截得的弦長為定值，求拋物線C的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，分別過A，B的拋物線C的兩條切線的交點E的軌跡為D，直線AB與軌跡D交于點F，求|EF|的最小值．

Answer 1

分析：（I）通過待定系數法求拋物線的方程；再求出其焦點，求出橢圓的焦點；利用橢圓的定義求出橢圓方程．
（II）設出點A的坐標，求出以AP為直徑的圓的半徑，求出圓心到直線的距離；利用圓心到直線的距離、半徑、弦長的一半構成直角三角形得到勾股定理，表示出弦長；據弦長是定值，令未知數的系數為0，求出拋物線方程．
（III）求出兩條切線的方程及直線AB的方程，表示出EF的長度，求出值．

解答：解：（I）設拋物線C的方程為：y²=2px，
拋物線C經過點M（1，2）則2²=2p×1
∴拋物線C的方程為：y²=4x其焦點為F₂（1，0）
故可設橢圓C′的焦點為F₁（1，0）和F₂（1，0），
2a=|MF₁|+|MF₃|=2

2

+2
∴b²=（

2

+1）²-1²=2+2

2

∴橢圓C′的方程為：

x2

3+2 2

+

y2

2+2 2

=1（3分）
（II）設A（2pt²，2pt）則AP的中點Q（pt²+

3

2

，pt），
以AP為直徑的圓的半徑為r
r²=（pt²-

3

2

）²+（pt）²，
設Q（pt²+

3

2

，pt）到直線l′：x=2的距離為d
則d=|pt²+

3

2

-2|=|pt²-

1

2

|
設直線l′：x=2被以AP為直徑的圓截得的弦為MN，則：
(

|MN|

2

)2=r²-d²=（pt²-

3

2

）²+（pt）²-（pt²-

1

2

）²=（p²-2p）t²+2
由于|MN|為定值，所以p²-2p=0所以p=2
∴拋物線C的方程為：y²=4x（8分）
（III）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
利用導數法或判別式法可求得AE，BE的方程分別為
AE：y1y=2（x₁+x），BE：y₂y=2（x₂+x）若E（x₀，y₀）則
y₁y₀=2（x₁+x₀），y₂y₀=2（x₂+x₀）故AB：y₀y=2（x₀+x）
又因為AB過點P（3，0），所以y₀×0=2（x₀+3）所以x₀=-3
即E的軌跡為D的方程為x=-3，交AB：y₀y=2（x₀+x）于點F（-3，-

12

y0

）
|EF|=|y₀-（-

12

y0

）|=|y₀+

12

y0

|≥2

y0• 12 y0

=4

3

；
當且僅當y₀=

12

y0

即y₀=±2

3

時取等號；
所以|EF|的最小值為4

3

．（13分）

點評：本題考查待定系數法求軌跡方程、圓錐曲線的定義、解決直線與圓錐曲線的位置關系常用的處理方法是聯立方程研究方程組、考查曲線的切線的求法．