Question

已知函數是偶函數.
（1）求的值；
（2）設，若函數與的圖象有且只有一個公共點，求實數的取值范圍。

Answer 1

（1）－；（2）｛aa＞1或a=-3｝

解析試題分析：（1）根據偶函數可知f（x）=f（-x），取x=-1代入即可求出k的值；
（2）函數f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，則方程f（x）=g（x）有且只有一個實根，化簡可得2x+＝a•2x?a有且只有一個實根，令t=2x＞0，則轉化成方程(a?1)t²?at?1＝0有且只有一個正根，討論a=1，以及△=0與一個正根和一個負根，三種情形，即可求出實數a的取值范圍．
試題解析：(1)∵函數　f(x)＝ (＋1)＋kx(k∈R)是偶函數
∴　f(－x)＝ (＋1)－kx＝－kx＝ (4x＋1)－(k＋1)x＝ (4x＋1)＋kx恒成立
∴－(k＋1)＝k，則k＝－     4分
(2)g(x)＝ (a·－a)，
函數　f(x)與g(x)的圖象有且只有一個公共點，即方程　f(x)＝g(x)只有一個解
由已知得 (4^x＋1)－x＝ (a·－a)
∴＝ (a·－a)，∴且=     8分
設。
設h（t）=（a-1）t²-at-1，若a-1＞0，∵h（0）=-1＜0，∴恰好有一正解，a＞1滿足題意。
若a-1=0，a=1，不滿足題意。
若a-1＜0，即a＜1時，=0的a=-3或a=，
當a=-3時t=滿足題意。
當a=時，t=-2（舍去）         11分
綜上：a的取值范圍是｛aa＞1或a=-3｝       12分
考點：對數函數圖像與性質的綜合應用.