Question

【題目】設函數f(x)=ax∈Z),曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為y=3.

(1)求f(x)的解析式;

(2)證明:函數y=f(x)的圖象是一個中心對稱圖形,并求其對稱中心;

(3)證明:曲線y=f(x)上任一點的切線與直線x=1和直線y=x所圍成的三角形的面積為定值,并求出此定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）2

【解析】分析： （1）先求導=a再根據已知得到解之即得a,b的值即得f(x)的解析式.(2)先證明函數y=f(x)的圖象是一個中心對稱圖形,再求其對稱中心.(3) 在曲線y=f(x)上任取一再求其切線方程y，最后求圍成的三角形的面積為定值, 并求出此定值.

詳解：(1)=a

于解得

因為a,b∈Z,所.

所以f(x)=x

(2)已知函數y1=x,y2,

所以函數g(x)=x,其圖象是以原點為中心的中心對稱圖形,

而由f(x)=x-1,函數g(x)的圖象向右平移1個單位長度,再向上平移1個單位長度即得到函數f(x)的圖象.

故函數f(x)的圖象是以點(1,1)為中心的中心對稱圖形.

(3)在曲線y=f(x)上任取一

由=1,過此點的切線方程為y

令x=1,得yx=1的交點

令x=y,得y=2x0-1,切線與直線y=x的交點為(2x0-1,2x0-1).

由于直線x=1與直線y=x的交點為(1,1),

從而它們所圍成的三角形的面積為

所以所圍成的三角形的面積為定值2.