Question

設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)是平面直角坐標(biāo)系xOy上的兩點(diǎn)，現(xiàn)定義由點(diǎn)A到點(diǎn)B的一種折線距離ρ(A，B)為p(A，B)=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|。對(duì)于平面xOy上給定的不同的兩點(diǎn)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
(Ⅰ)若點(diǎn)C(x，y)是平面xOy上的點(diǎn)，試證明ρ(A，C)+ρ(C，B)≥p(A，B)；
(Ⅱ)在平面xOy上是否存在點(diǎn)C(x，y)，同時(shí)滿足
①ρ(A，C)+ρ(C，B)=ρ(A，B)；②ρ(A，C)=ρ(C，B)。
若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)予以證明。

Answer 1

(Ⅰ)證明：∵，
，
∴

；
(Ⅱ)注意到點(diǎn)A(x₁，y₁)與點(diǎn)B(x₂，y₂)不同，下面分三種情形討論．
(1)若x₁=x₂，則y₁≠y₂，
由條件②得，
即，∴，
由條件①得，
∴，
∴，∴x=x₁，
因此，所求的點(diǎn)C為；
(2)若y₁=y₂，則x₁≠x₂，類似于(Ⅰ)，可得符合條件的點(diǎn)C為；
(3)當(dāng)x₁≠x₂且y₁≠y₂時(shí)，不妨設(shè)x₁＜x₂，
(ⅰ)若y₁＜y₂，則由(Ⅰ)中的證明知，要使條件①成立，
當(dāng)且僅當(dāng)(x-x₁)(x₂-x)≥0與(y-y₁)(y₂-y)≥0同時(shí)成立，
故x₁≤x≤x₂且y₁≤y≤y₂，
從而由條件②，得，
此時(shí)所求點(diǎn)C的全體為M={(x，y)|，x₁≤x≤x₂且y₁≤y≤y₂}；
(ⅱ)若y₁＞y₂，類似地由條件①可得x₁≤x≤x₂且y₂≤y≤y₁，
從而由條件②得，
此時(shí)所求點(diǎn)的全體為{(x，y)|，x₁≤x≤x₂且y₂≤y≤y₁}。