Question

【題目】已知焦點(diǎn)在軸上的拋物線過點(diǎn)，橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，其中與的焦點(diǎn)重合，過點(diǎn)與的長軸垂直的直線交于，兩點(diǎn)，且，曲線是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓.

（1）求與的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若動(dòng)直線與相切，且與交于，兩點(diǎn)，求的面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 的標(biāo)準(zhǔn)方程為.的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)

【解析】

（1）先由已知設(shè)拋物線的方程為，根據(jù)拋物線過點(diǎn)，即可求出拋物線方程，得出坐標(biāo)，再由題意可得，進(jìn)而可求出橢圓方程；又曲線是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，根據(jù)坐標(biāo)坐標(biāo)得出的值，即可寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）先由直線與相切，得圓心到直線的距離為1，因此，根據(jù)題意分類討論：當(dāng)直線的斜率不存在和斜率存在兩種情況，結(jié)合韋達(dá)定理和弦長公式，分別求出的范圍即可.

解：（1）由已知設(shè)拋物線的方程為，

則，解得，即的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

則，不妨設(shè)橢圓的方程為，

由，得，所以，

又，所以，，

故的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

易知，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）因?yàn)橹本�與相切，所以圓心到直線的距離為1.所以.

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，其方程為，易知兩種情況所得到的的面積相等.

由，得.

不妨設(shè)，，則，

此時(shí).

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，

則，即.

由，得，

所以 恒成立.

設(shè)，，

則，.

所以.

令，則，

所以

，

令，則，

易知區(qū)間上單調(diào)遞減，所以.

綜上，的面積的取值范圍為.