Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，，，，.為線段的中點.

（1）證明：面；

（2）求與平面所成的角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）根據已知條件證明,結合平面.即可得證;

（2）解法一（幾何法）:先找到在平面內的射影直線,則所求角可得,在直角三角形中求出此角,即可得結果;

解法二（空間向量法）:建立空間直角坐標系,確定各點坐標,求出坐標和平面的法向量坐標,結合線面角公式，即可得結果.

（1）取中點,因為,,

所以,,∴.

因為平面,平面,所以,

因為平面,平面,,

所以面.

（2）法一：連結,由（1）平面可得,

與平面所成角為.

∵,分別是,的中點，

∴,

因為,,

所以,，

因為,所以,

∴在中,

，

∴.

因此與平面所成的角的正弦值為.

法二：以為坐標原點,,平行于的直線

為，，軸,建立如圖所示空間直角坐標系，則因為

,,所以,,

因為,所以,因此,,

,,,

從而為平面一個法向量,

,,

.

因此與平面所成的角的正弦值為.