Question

（12分）已知圓的方程為,橢圓的方程，且離心率為，如果與相交于兩點，且線段恰為圓的直徑.

（Ⅰ）求直線的方程和橢圓的方程；

（Ⅱ）如果橢圓的左、右焦點分別是,橢圓上是否存在點,使得,如果存在，請求點的坐標，如果不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），；

（Ⅱ）存在P點坐標為，

【解析】(Ⅰ) 解法一：若直線斜率不存在，則直線的方程為，由橢圓的對稱性可知，，兩點關于軸對稱，A,B的中點為（4，0），又線段AB恰為圓的直徑，則圓心為（4，0），這與已知圓心為（4，1）矛盾，因此直線斜率存在，…………1分

所以可設AB直線方程為，且設A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),      設橢圓方程,…………………2分

將AB直線方程為代入到橢圓方程得，即（1），………………………………4分

，解得，故直線AB的方程為,…………6分

將代入方程（1）得5x²－40x+100－4b²=0. ，

，得.                   …………………………………7分=，得，解得b²=9..

故所求橢圓方程為.     ………………………………………………8分

解法二：   設橢圓方程,…………1分

又設A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),則,

又,兩式相減，得，……3分

即(x₁+x₂)(x₁－x₂)+4(y₁+y₂)(y₁－y₂)=0，.

若，直線的方程為，由橢圓的對稱性可知，，兩點關于軸對稱，A,B的中點為（4，0），又線段AB恰為圓的直徑，則圓心為（4，0），這與已知圓心為（4，1）矛盾，所以.

因此直線斜率存在,且 =－1,故直線AB的方程為,  ……5分

代入橢圓方程，得5x²－40x+100－4b²=0 .   ………………………………6分

 ，，得.……………………7分

|AB|=, 

得，解得b²=9.故所求橢圓方程為.  ……8分

(Ⅱ)因為的中點是原點,

所以,所以與共線， …………………10分，

而直線AB的方程為y=－x+5,所以直線所在的直線方程為y=－x. 

，或.

所以P點坐標為，.     …………………12分