Question

【題目】設定義在上的函數、和，滿足，且對任意實數、（），恒有成立.

⑴試寫 出一組滿足條件的具體的和，使為增函數，為減函數，但為增函數.

⑵判斷下列兩個命題的真假，并說明理由.

命題1）：若為增函數，則為增函數；

命題2）：若為增函數，則為增函數.

⑶已知，寫出一組滿足條件的具體的和，且為非常值函數，并說明理由.

Answer 1

【答案】(1)答案不唯一，見解析；(2) 命題1）為真，命題2）為假，理由見解析；(3) 答案不唯一，詳見解析.

【解析】

(1)根據題意找出滿足條件的一組和即可，答案不唯一；

(2) 命題1）為真命題，結合單調性定義進行說明；命題2）為假命題，列舉反例即可；

(3)由寫出一組符合題意的和即可.

(1) 為上的增函數，為上的減函數，為增函數.

(2) 命題1）：若為增函數，則為增函數，是真命題；

理由如下：設，由為增函數可得；

若為增函數或者常數函數，則一定為增函數；

若滿足，則由可得

，

，即，所以為增函數；

命題2）：若為增函數，則為增函數，是假命題；

如為減函數，為增函數，但是不是增函數.

(3) 答案不唯一；由，

令，為增函數，非常數函數，

則，

所以為增函數.