Question

16、如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，PD=DC，E，F分別是PA，PC的中點；
（1）求證：PC∥平面EBD；
（2）求證：平面DEF⊥平面PBC．

Answer 1

分析：（1）欲證PC∥平面EBD，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證PC與平面EBD內一直線平行，根據三角形的中位線可知PC∥EO，滿足定理條件；
（2）欲證平面DEF⊥平面PBC，根據面面垂直的判定定理可知在平面DEF內一直線與平面PBC垂直，而DF⊥PC，BC⊥DF，PC∩BC=C，滿足線面垂直的判定定理，則DF⊥面PBC，即可證得平面DEF⊥平面PBC．

解答：解：（1）設AC與BD的交點為O，
根據三角形的中位線可知PC∥EO
EO?平面EBD，PC?平面EBD
∴PC∥平面EBD；

（2）∵PD=DC，F分別是PC的中點
∴DF⊥PC
∵BC⊥面PDC，DF?面PDC
∴BC⊥DF而PC∩BC=C
∴DF⊥面PBC而DF?平面DEF
∴平面DEF⊥平面PBC．

點評：本小題主要考查平面與平面垂直的判定，以及直線與平面平行的判定等有關知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，考查轉化思想，屬于基礎題．