Question

若對可導函數f（x），恒有2f（x）+xf′（x）＞0，則f（x）（　　）

A．恒大于0

B．恒小于0

C．恒等于0

D．和0的大小關系不確定

Answer 1

分析：根據題目給出的條件2f（x）+xf′（x）＞0，想到構造函數g（x）=x²f（x），求導后分析該函數的單調性，從而能判出函數的極小值點，進一步得到函數g（x）恒大于0，則有f（x）恒大于0．

解答：解：令g（x）=x²f（x），
則g^′（x）=2xf（x）+x²f^′（x）
=x（2f（x）+xf^′（x）），
因為2f（x）+xf′（x）＞0，
所以，當x＞0時，g^′（x）＞0，所以函數g（x）在（0，+∞）上為增函數．
當x＜0時，g^′（x）＜0，所以函數g（x）在（-∞，0）上為減函數．
所以，當x=0時函數g（x）有極小值，也就是最小值為g（0）=0．
所以g（x）=x²f（x）恒大于等于0，
當x≠0時，由x²f（x）恒大于0，可得f（x）恒大于0．
又對可導函數f（x），恒有2f（x）+xf′（x）＞0，
取x=0時，有2f（0）+0×f^′（0）＞0，所以f（0）＞0．
綜上有f（x）恒大于0．
故選A．

點評：本題考查了構造函數法，考查利用函數的導函數判斷函數的單調性，解答的關鍵是合理構造出函數，屬于基礎題．