Question

若對可導函數f（x），恒有2f（x）+xf′（x）＞0，則f（x）（　　）

A．恒大于0	B．恒小于0
C．恒等于0	D．和0的大小關系不確定

Answer 1

令g（x）=x²f（x），
則g^′（x）=2xf（x）+x²f^′（x）
=x（2f（x）+xf^′（x）），
因為2f（x）+xf′（x）＞0，
所以，當x＞0時，g^′（x）＞0，所以函數g（x）在（0，+∞）上為增函數．
當x＜0時，g^′（x）＜0，所以函數g（x）在（-∞，0）上為減函數．
所以，當x=0時函數g（x）有極小值，也就是最小值為g（0）=0．
所以g（x）=x²f（x）恒大于等于0，
當x≠0時，由x²f（x）恒大于0，可得f（x）恒大于0．
又對可導函數f（x），恒有2f（x）+xf′（x）＞0，
取x=0時，有2f（0）+0×f^′（0）＞0，所以f（0）＞0．
綜上有f（x）恒大于0．
故選A．