Question

已知F是拋物線C：y²=4x的焦點，A，B是拋物線上的兩個點，線段AB的中點為M（2，2），則△ABF的面積等于（　　）

• A、1
• B、2
• C、2

  2

• D、4

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：

分析：利用點斜式設過M的直線方程，與拋物線方程聯立消去y，根據韋達定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表達式，根據AB的中點坐標求得k，進而求得直線方程，求得AB的長度和焦點到直線的距離，最后利用三角形面積公式求得答案．

解答：解：當AB與x軸垂直時，根據對稱性可知AB的中點應落在x軸上與已知矛盾，故直線AB的斜率一定存在，設為k，
則直線方程為y=k（x-2）+2，帶入拋物線方程得k²x²-（4k²-4k+4）x+4k²-4=0，
∴x₁+x₂=

4k2-4k+4

k2

=4，求得k=1，
∴x₁x₂=0
∴直線AB的方程為y=x，
∵拋物線方程為y²=4x，
∴焦點F的坐標為（1，0），
∴點F到直線AB的距離d=

1

2

=

2

2

，
|AB|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=4

2

∴S△_ABF=

1

2

•d•|AB|=

1

2

×4

2

×

2

2

=2．
故選B

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．當直線與圓錐曲線相交時   涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設而不求計算弦長（即應用弦長公式）