Question

【題目】如果存在常數，使得數列滿足：若是數列中的一項，則也是數列 中的一項，稱數列為“兌換數列”，常數是它的“兌換系數”.

（1）若數列：是“兌換系數”為的“兌換數列”，求和的值；

（2）已知有窮等差數列的項數是，所有項之和是，求證：數列是“兌換數列”，并用和表示它的“兌換系數”；

（3）對于一個不小于3項，且各項皆為正整數的遞增數列，是否有可能它既是等比數列，又是“兌換數列”？給出你的結論，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）a=6,m=5；（2）見解析；（3）

【解析】

本試題主要考查了數列的運用。

解：（1）因為數列：1,2,4(m>4)是“兌換系數”為a的“兌換數列”

所以a-m,a-4,a-2,a-1也是該數列的項，且a-m<a-4<a-2<a-1-------------------1分

故a-m=1,a-4=2-------------------3分

即a=6,m=5 -------------------4分

（2）設數列的公差為d，因為數列是項數為項的有窮等差數列

若

即對數列中的任意一項

-------------------6分

同理可得：若，也成立，

由“兌換數列”的定義可知，數列是 “兌換數列”；-------------------8分

又因為數列所有項之和是B，所以，即------10分

（3）假設存在這樣的等比數列，設它的公比為q,(q>1)，

因為數列為遞增數列，所以

又因為數列為“兌換數列”，則，所以是正整數

故數列必為有窮數列，不妨設項數為n項，------------------12分

則----------14分

① n=3則有，又，由此得q=1，與q>1矛盾；-------------------15分

②若。由，

即()，故q=1，與q>1矛盾；-------------------17分

綜合①②得，不存在滿足條件的數列。-------------------18分