Question

【題目】已知直線與圓心為坐標原點的圓相切．

（1）求圓的方程;

（2）過點的直線與圓交于 兩點,若弦長,求直線的斜率的值;

（3）過點作兩條相異直線分別與圓相交于,且直線和直線的傾斜角互補,試著判斷向量和是否共線?請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）;（2）或;（3）共線,理由詳見解析

【解析】

（1）根據點到直線的距離公式求出半徑,結合圓心即可得出圓的方程．

（2）設直線的斜率為,得出點斜式方程,再求圓心到直線的距離,根據公式即可求出直線的斜率.

（3）由題意知,直線和直線的斜率存在,且互為相反數,

設,則,聯立,得一元二次方程標代入方程可得, ,所以,得出結論.

解（1）∵直線與圓心為坐標原點的圓相切．

∴圓半徑,

∴圓的方程為．

（2）設直線的斜率為．

則直線的方程為 ,即,

圓心到直線的距離為,

∵弦長,

∴,

解得或．

（3）向量和共線,理由如下：

由題意知,直線和直線的斜率存在,且互為相反數,

故可設,則,

由,得.

∵點的橫坐標一定是該方程的解,故可得．

同理可得,

∴,

∴向量和共線．