Question

【題目】已知橢圓的離心率為，焦距為，直線過橢圓的左焦點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線與軸交于點(diǎn)是橢圓上的兩個動點(diǎn),的平分線在軸上,.試判斷直線是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不過定點(diǎn)，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2)過定點(diǎn)

【解析】

(1)因?yàn)橹本�過橢圓的左焦點(diǎn),故令,得,又因?yàn)殡x心率為,從而求出,又因?yàn)?/span>,求出的值,從而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)先求出點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)直線的方程為,聯(lián)立方程組,利用根與系數(shù)的關(guān)系,設(shè),,得到,又因?yàn)?/span>的平分線在軸上,所以,從而求出的值,得到直線的方程為過定點(diǎn)坐標(biāo).

解:(1)因?yàn)橹本�過橢圓的左焦點(diǎn),故令,得，

,解得.又,解得.

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:.

(2)由(1)得,直線的方程為

令得,,即.設(shè)直線的方程為

聯(lián)立方程組,消去得,

設(shè),,,

則直線、的斜率,

所以

的平分線在軸上,,即

又,,.

即直線的方程為,過定點(diǎn).