Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，若F₁與拋物線y²=-4x的焦點(diǎn)重合，過(guò)F₁的直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)．與拋物線相交于C、D兩點(diǎn)，當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，|CD|=2

2

|AB|．
（1）求橢圓的方程；
（2）若

F2A

•

F2B

=0，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由與拋物線相交于C、D兩點(diǎn)得到CD的長(zhǎng)度，由拋物線、橢圓都關(guān)于x軸對(duì)稱，且l⊥x軸，得到A點(diǎn)坐標(biāo)得到Aa，b關(guān)系，結(jié)合a，b，c三者關(guān)系可求b²=1，a²=2；
（2）分①當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)②若AB與x軸不垂直，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系得到k值．

解答： 解：（1）由已知，得拋物線y²=-4x的焦點(diǎn)F₁（-1，0），設(shè)橢圓的方程：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
由

y2=-4x x=-1

得C（-1，2），D（-1，-2），|CD|=4，由拋物線、橢圓都關(guān)于x軸對(duì)稱，且l⊥x軸，知

|F1C|

|F1A|

=

|CD|

|AB|

=2

2

，
∴|F₁A|=

2

2

，∴A（1，

2

2

），∴

1

a2

+

1

2b2

=1，
又a²-b²=c²=1，解得b²=1，a²=2，故橢圓的方程為

x2

2

+y2=1；
（2）點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），①當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，A(-1，

2

2

)，B(-1，-

2

2

)
∴

F2A

=（-2，

2

2

），

F2B

=（-2，-

2

2

），所以

F1A

•

F2B

=4-

1

2

=

7

2

，不符合條件．
②若AB與x軸不垂直，設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y=k（x+1）
由

y=k(x+1) x2+2y2-2=0

得（1+2k²）x²+4k²x+2（k²-1）=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=-

4k2

1+2k2

，x1•x2=

2(k2-1)

1+2k2

∵

F2A

=(x1-1，y1)，

F2B

=(x2-1，y2)，

F2A

•

F2B

=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+1)(x2+1)

=(1+k2)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+1+k2 =(1+k2) 2(k2-1) 1+2k2 +(k2-1)(- 4k2 1+2k2 )+1+k2 = 7k2-1 1+2k2

由

F2A

•

F2B

=0，得k=±

7

7

，
故l的方程為y=±

7

7

(x+1)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的方程求法以及直線與橢圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵由

F2A

•

F2B

=0結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到k值．