Question

（2011•通州區一模）如圖．四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD．PA=AD=1，AB=

2

．M，N分別為AB、PC的中點．
（I）求證：MN∥平面PAD；
（II）求證：MN⊥平面PCD；
（III） 求平面DMN與平面DPA所成銳二面角的度數．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證明線面平行，需要設法在平面PAD內找到與MN平行的直線，因為給出的M，N分別是DC和PB的中點，所以可取CD的中點，通過證明兩個平面平行得到線面平行；
（Ⅱ）證明MN⊥平面PCD，可利用線面垂直的判定定理，容易證明MN與CD垂直，再通過解三角形得到PM=MC，從而證得MN垂直于PC，直接由線面垂直的判定定理得到結論；
（Ⅲ）以A為坐標原點建立空間坐標系，利用平面法向量所稱的角求解二面角的平面角．

解答：（Ⅰ）證明：如圖，
取CD的中點E，連結ME，連結AC，ME∩AC=F，所以F為AC的中點，連結NF，
∵M、E分別為AB、CD的中點，∴ME∥AD，AD?面PAD，
∴ME∥面PAD，F、N分別為AC、PC的中點，∴FN∥PA，PA?面PAD，∴FN∥面PAD．
又ME∩FN=F，∴面MEN∥面PAD．∴MN∥平面PAD； 
（Ⅱ）證明：∵PA⊥底面ABCD，FN∥PA，∴FN⊥底面ABCD，則FN⊥CD，又CD⊥ME，
∴CD⊥面MEN，∴CD⊥MN．
在Rt△PAM和Rt△MBC中，由勾股定理可得PM=MC，又N是PC的中點，∴MN⊥PC，
又PC∩CD=C．∴MN⊥平面PCD；
（Ⅲ）解：以A為坐標原點，以AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．
則M(

2

2

，0，0)，D（0，1，0），N(

2

2

，

1

2

，

1

2

)．

DM

=(

2

2

，-1，0)，

MN

=(0，

1

2

，

1

2

)．
設平面DMN的一個法向量為

m

=(x，y，z)．
由

m • DM =0 m • MN =0

，得

2 2 x-y=0 1 2 y+ 1 2 z=0

，取z=-1，得y=1，x=

2

，
∴

m

=(

2

，1，-1)．
又平面DPA的一個法向量

n

=(1，0，0)．
∴平面DMN與平面DPA所成銳二面角的余弦值cosθ=

m • n

| m |•| n |

=

2

( 2 )2+12+(-1)2

=

2

2

．
∴平面DMN與平面DPA所成銳二面角的度數為45°．

點評：本題考查了直線與平面平行的判定，考查了直線與平面垂直的判定，考查了利用空間向量求二面角的平面角，綜合考查了學生的空間想象能力和思維能力，解答的關鍵是分清二面角兩個面的法向量所成的角與二面角的大小之間的關系，是中檔題．