Question

【題目】設函數在區間上的最小值為.

（1）求；

（2）若在上恒成立，求實數的取值范圍；

（3）當 時，求滿足的的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析;（Ⅱ）;（Ⅲ）.

【解析】試題分析：（1）由對稱軸的位置，分類討論得；（2），得在上恒成立，所以；（3）因為時， ， 時， ，所以即設，討論單調性知函數在上單調遞減，所以的取值范圍是.

試題解析：

.解法一：（Ⅰ）由題意知，函數的圖像為開口向上的拋物線，且對稱軸為，

當時，函數在單調遞增，則，

當時，函數在單調遞減，在單調遞增，則，

所以，

（Ⅱ），

，即在上恒成立，

設， ，則

,,又,

,即

函數在上單調遞減,

,.

（Ⅲ）時， ， 時， ，

∴即

設，則其定義域為

設，易得該函數在上單調遞減，

設，由知，該函數也在上單調遞減，

由上可知函數在上單調遞減，

又

所以

即滿足條件的的取值范圍為.

解法二：（Ⅰ）同法一

（Ⅱ）因為所以，

由，得，

設,題意等價于：

，即

解得：

（Ⅲ）時， , 時，

∴即

,即,

設其對稱軸,開口向下，

所以在單調遞增，

設 在單調遞減，且，

所以，滿足條件的的取值范圍為.