Question

已知函數，在時取得極值．
（Ⅰ）求函數的解析式；
（Ⅱ）若時,恒成立，求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）若，是否存在實數b，使得方程在區間上恰有兩個相異實數根，若存在，求出b的范圍，若不存在說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

試題分析：（Ⅰ）     2分
依題意得，所以，從而       4分
（Ⅱ）令，得或（舍去），
當時，當
由討論知在的極小值為；最大值為或，因為，所以最大值為，所以    ……8分
（Ⅲ）設,即，．
又，令，得；令，得．
所以函數的增區間，減區間．
要使方程有兩個相異實根，則有
，解得    12分
點評：第一問利用函數在極值點處的導數為零得到系數的值，第二問第三問將不等式恒成立問題轉化為求函數最值問題，進而利用函數導數求單調性求極值最值。這種轉化思路在函數題目中經常用到，要加強這方面的訓練