Question

已知函數 f（x）=ax＋lnx，其中a為常數，設e為自然對數的底數．
（1）當a=－1時，求的最大值；
（2）若f（x）在區間（0，e］上的最大值為－3，求a的值；
（3）當a=－1時，試推斷方程是否有實數解 .

Answer 1

（1）-1
（2）
（3）方程無實數解

試題分析：解：（1）當時，
，當時，在區間上為增函數，
當時，，在區間上為減函數，
所以當，有最大值，。    3分
（2）∵，若，則在區間（0，e］上恒成立，
在區間（0，e］上為增函數，，
，舍去，
當，在區間（0，e］上為增函數，
，∴，舍去，
若，當時，在區間上為增函數，
當時， ，在區間上為減函數，
，；
綜上。    8分
（3）當時，恒成立，所以，
令，
，當時，在區間上為增函數，
當時，在區間上為減函數，
當時，有最大值，所以恒成立，
方程無實數解。    12分
點評：主要是考查了導數在研究函數單調性以及最值的運用，屬于基礎題。