Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，PA=1，E為BC的中點．
（1）求點C到面PDE的距離；  
（2）求直線PC與面PDE所成角的正弦值；
（3）探究：在線段BC上是否存在點N，使得二面角P-ND-A的平面角大小為

π

4

．試確定點N的位置．

Answer 1

分析：（1）幾何法：連接AE，設點C到面PDE的距離為d，利用等體積轉化法V _P-CDE=V _C-PDE，
（2）由（1）直線PC與面PDE所成角的正弦值sinθ=

d

BC

=

1

6

（3）坐標法：建立空間直角坐標系，通過平面PND的法向量，平面AND的一個法向量夾角求解．

解答：解（1）幾何法：連接AE，易得AE=DE=

2

，而AD=2，∴△ADE為直角三角形，故AE⊥DE．又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥DE，DE⊥面APE，PE⊥DE
，S_△PED=

1

2

PE•PD=

1

2

•

3

•

2

=

6

2

，又S_△ECD=

1

2

CE•CD=

1

2

，
由V _P-CDE=V _C-PDE，設點C到面PDE的距離為d，
則

1

3

S_△ECD•PA=

1

3

S_△PED•d，得d=

6

6

…（4分）
（2）由（1）直線PC與面PDE所成角的正弦值sinθ=

d

BC

=

1

6

…（8分）
（3）坐標法：建立如圖所示，空間直角坐標系，
設N（1，a.0）（0＜a＜2），則

PN

=（1，a，-1），

PD

=（0，2，-1），
設

n

=（x，y，z）為平面PND的法向量，則

n •PN=0 n • PD =0

，得

x+ay-z=0 z=2y

取y=1，則
則設

n

=（2-a，1，2）|

n

|=

a2-4a+9

又AP⊥面AND，所以

AP

=（0，0，1）為為平面AND的一個法向量．
由題意：cos

π

4

=

n • AP

|n|| AP|

=

2

a2-4a+9

=

2

2

得a²-4a1=0解得：a=2-

3

即點N在線段BC上距B點的2-

3

處．                          …（12分）

點評：本題考查空間直線、平面位置關系的判斷，二面角大小求解，考查空間想象能力、推理論證、計算、轉化能力．利用向量這一工具，解決空間幾何體問題，能夠降低思維難度．