Question

【題目】在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，點E是PC的中點．

（Ⅰ）求證：PA∥平面EBD；

（Ⅱ）求二面角EBDP的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）幾何法：連接,連接,根據線面平行的判定定理可先證明線線平行，即證明；向量法：以點D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸建立直角坐標系，求平面的法向量，若，說明與法向量垂直，即與平面平行；

（Ⅱ）向量法求二面角的余弦值，即先求兩個平面的法向量，而平面的法向量就是,即求.

試題解析：解：(Ⅰ)法一：以點D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸建立直角坐標系，設正方形的邊長為1，則

∴,．

設平面EBD的法向量為，

可求得,∴,∴∥平面EBD．

即PA∥平面EBD．

法二：連接AC，設AC∩BD＝O，連接OE，則OE∥PA，∴PA∥平面EBD.

(Ⅱ)設平面PBD的法向量為．

∴，∴二面角E-BD-P的平面角的余弦值為.