Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的最小值；

（2）如果不等式 在區(qū)間上恒成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（I）x∈（0，+∞），，，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值即最小值．．
（II）不等式（k∈Z）在區(qū)間（1，+∞）上恒成立 , 令, 利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值即可得出．

試題解析：

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞增.

因此，函數(shù)的最小值為.

（2）不等式在區(qū)間上恒成立等價(jià)于，令，則，由于時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞增且，所以函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?/span>， ，所以，因此，當(dāng)時(shí)， ， ；當(dāng)時(shí)， ， ，從而函數(shù)在， 上分別是減函數(shù)、增函數(shù)，

因此，

所以，由得，因此，且，所以.