Question

工廠生產某種零件，每天需要固定成本100元，每生產1件，還需再投入資金2元，若每天生產的零件能全部售出，每件的銷售收入P（x）（元）與當天生產的件數之間有以下關系：P(x)=

83- 1 3 x2，0＜x≤10 520 x - 1331 x3 ，x＞10

設當天利潤為y元．
（1）寫出y關于x的函數關系式；
（2）要使當天利潤最大，當天應生產多少零件？（注：利潤等于銷售收入減去總成本）

Answer 1

分析：（1）利用利潤與件數的關系建立二者之間的函數關系式是解決本題的關鍵；注意利潤等于銷售收入減去總成本，只需得出總收入和總成本即可．
（2）依據函數類型選擇恰當的求最值的方法，充分利用導數工具，求出每一段的最值，比較得出該函數的最大值．最后寫出答案．

解答：解：（1）當0＜x≤10時，y=x（83-

1

3

x²）-100-2x=-

1

3

x³+81x-100；當x＞10時，y=x（

520

x

-

1331

x3

）-2x-100=-2x-

1331

x2

+420．
∴y=

- 1 3 x3+81x-100，0＜x≤10，x∈N -2x- 1331 x2 +420，x＞10，x∈N

．
（2）設函數y=h（x）=

- 1 3 x3+81x-100，0＜x≤10，x∈N -2x- 1331 x2 +420，x＞10，x∈N

．
①當0＜x≤10時，y'=81-x²，令y'=0，得出x=9．當x∈（0，9）時，y'＞0；當x∈（9，10）時，y'＜0；故x=9時，y_max=386．
②當x＞10時，y'=

-2×1331

x3

-2，令y'=0，得出x=11，當x∈（10，11）時，y'＞0；當x∈（11，+∝）時，y'＜0；故x=11時，y_max=387．
結合①②知，當x=11時，y取最大值．
故要使當天利潤最大，當天應生產11件零件．

點評：本題考查分段函數的知識，考查學生解決實際問題的能力，利用導數求最值的方法在本題中有所體現．注意實際問題的實際背景．