Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， a1=1，an≠0，anan+1=λSn﹣1，其中λ為常數．
（1）證明：an+2﹣an=λ
（2）是否存在λ，使得{an}為等差數列？并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵anan+1=λSn﹣1，an+1an+2=λSn+1﹣1，

∴an+1（an+2﹣an）=λan+1

∵an+1≠0，

∴an+2﹣an=λ．

（2）解：①當λ=0時，anan+1=﹣1，假設{an}為等差數列，設公差為d．

則an+2﹣an=0，∴2d=0，解得d=0，

∴an=an+1=1，

∴12=﹣1，矛盾，因此λ=0時{an}不為等差數列．

②當λ≠0時，假設存在λ，使得{an}為等差數列，設公差為d．

則λ=an+2﹣an=（an+2﹣an+1）+（an+1﹣an）=2d，

∴ ．

∴ ， ，

∴λSn=1+ = ，

根據{an}為等差數列的充要條件是 ，解得λ=4．

此時可得 ，an=2n﹣1．

因此存在λ=4，使得{an}為等差數列

【解析】（1）利用anan+1=λSn﹣1，an+1an+2=λSn+1﹣1，相減即可得出；（2）對λ分類討論：λ=0直接驗證即可；λ≠0，假設存在λ，使得{an}為等差數列，設公差為d．可得λ=an+2﹣an=（an+2﹣an+1）+（an+1﹣an）=2d， ．得到λSn= ，根據{an}為等差數列的充要條件是 ，解得λ即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等差關系的確定的相關知識，掌握如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個數列就叫做等差數列，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．