Question

【題目】對于定義域為的函數，如果同時滿足以下三條：①對任意的，總有；②；③若，都有成立，則稱函數為理想函數．

(1) 若函數為理想函數，求的值；

(2)判斷函數是否為理想函數，并予以證明；

(3) 若函數為理想函數，假定，使得，且，求證：．

Answer 1

【答案】（1）．（2）理想函數．

【解析】本題考查函數值的求法，解題時要認真審題，注意挖掘題設的中的隱含條件，注意性質的靈活運用．

（1）取x1=x2=0可得f（0）≥f（0）+f（0）f（0）≤0，由此可求出f（0）的值．

（2）g（x）=2x-1在[0，1]滿足條件①g（x）≥0，也滿足條件②g（1）=1．若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，滿足條件③，收此知故g（x）理想函數．

（3）由條件③知，任給m、n∈[0，1]，當m＜n時，由m＜n知n-m∈[0，1]，f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．由此能夠推導出f（x0）=x0