Question

如圖，PA⊥平面ABCD，ABCD為正方形，，且PA=AD=2，E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點．
（1）求證：面EFG⊥面PAB；
（2）求異面直線EG與BD所成的角的余弦值；
（3）求點A到面EFG的距離．

Answer 1

分析：建系，寫出有關點的坐標，A，B，C，D，P，E，F，G，（1）要證面EFG⊥面PAB，只要證EF⊥面PAB，只要證EF⊥AP，EF⊥AB即可；
（2）要求異面直線EG與BD所成的角的余弦值，只要求

EG

與

BD

所成角的余弦值即可；（3）求出面EFG的一個法向量，求點A到面EFG的距離實際上是求向量

AE

在面EFG的法向量上的投影的長度．

解答：解：建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，
則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），
P（0，0，2），E（0，0，1），F（0，1，1），G（1，2，0）．
（1）證明：∵

EF

=（0，1，0），

AP

=（0，0，2），

AB

=（2，0，0），
∴

EF

•

AP

=0×0+1×0+0×2=0，

EF

•

AB

=0×2+1×0+0×0=0，
∴EF⊥AP，EF⊥AB．
又∵AP、AB?面PAB，且PA∩AB=A，
∴EF⊥平面PAB．
又EF?面EFG，∴平面EFG⊥平面PAB．
（2）解：∵

EG

=(1，2，-1)，

BD

=(-2，2，0)，
∴cos＜

EG

，

BD

＞=

EG • BD

| EG |•| BD |

=

-2+4

6 •2 2

=

3

6

，
（3）解：設平面EFC的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • EF =(x，y，z)•(0，1，0)=0 n • EG =(x，y，z)•(1，2，-1)=0

∴

y=0 x+2y-z=0

令z=0，得

n

=（1，0，1）．
又

AE

=（0，0，1），
∴點A到平現EFG的距離d=|

AE • n

| n |

|=|

1

2

|=

2

2

．

點評：考查利用空間向量證明垂直和求夾角和距離問題，以及面面垂直的判定定理，體現 了轉化的思想方法，屬中檔題．