Question

【題目】《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．
如圖，在陽馬P﹣ABCD中，側棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，E為PC中點，點F在PB上，且PB⊥平面DEF，連接BD，BE．

（Ⅰ）證明：DE⊥平面PBC；
（Ⅱ）試判斷四面體DBEF是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結論）；若不是，說明理由；
（Ⅲ）已知AD=2， ，求二面角F﹣AD﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）因為PD⊥面ABCD，BC面ABCD，

所以BC⊥PD．

因為四邊形ABCD為矩形，

所以BC⊥DC．PD∩DC=D，

所以BC⊥面PDC．DE面PDC，DE⊥BC，

在△PDC中，PD=DC，E為PC中點，

所以DE⊥PC．又PC∩BC=C，

所以DE⊥面PBC．

解：（Ⅱ）四面體DBEF是鱉臑，

其中 ， ．

（Ⅲ）以DA，DC，DP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．

則D（0，0，0），A（2，0，0）， ， ， ．

設 ，則 ．DF⊥PB得 ，解得 ．

所以 ．

設平面FDA的法向量 ，

則 ，令z=1得x=0，y=﹣3．

平面FDA的法向量 ，

平面BDA的法向量 ，

， ．

二面角F﹣AD﹣B的余弦值為 ．

【解析】（1）推出BC⊥PD，BC⊥DC，從而得出BC⊥面PDC，進而DE⊥BC，再求出DE⊥PC，由此證明DE⊥面PBC；（2）四面體DBEF是鱉臑，寫出直角；（3）以D為坐標原點，DA，DC，DP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，用法向量求出二面角的余弦值.