Question

【題目】已知m＞1，直線l：x﹣my﹣ =0，橢圓C： +y2=1，F(xiàn)1、F2分別為橢圓C的左、右焦點．
（Ⅰ）當(dāng)直線l過右焦點F2時，求直線l的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點，△AF1F2 ， △BF1F2的重心分別為G、H．若原點O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因為直線l：x﹣my﹣ =0，經(jīng)過F2（ ，0），

所以 = ，得m2=2，

又因為m＞1，所以m= ，

故直線l的方程為x﹣ y﹣1=0．

（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．

由 ，消去x得

2y2+my+ ﹣1=0

則由△=m2﹣8（ ﹣1）=﹣m2+8＞0，知m2＜8，

且有y1+y2=﹣ ，y1y2= ﹣ ．

由于F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），故O為F1F2的中點，

由 ， =2 ，可知G（ ， ），H（ ， ）

|GH|2= +

設(shè)M是GH的中點，則M（ ， ），

由題意可知2|MO|＜|GH|

即4[（ ）2+（ ）2]＜ + 即x1x2+y1y2＜0

而x1x2+y1y2=（my1+ ）（my2+ ）+y1y2=（m2+1）（ ）

所以（ ）＜0，即m2＜4

又因為m＞1且△＞0

所以1＜m＜2．

所以m的取值范圍是（1，2）．

【解析】（Ⅰ）由題意可得，把點F2（ ，0）代入直線方程解出m的值，進(jìn)而得到直線的方程。
（Ⅱ）利用設(shè)而不求法，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去x得到關(guān)于y的一元二次次函數(shù)，判別式大于零以及根與系數(shù)的關(guān)系求出y1+y2、y1y2的表達(dá)式，再利用可得G（ ， ），H（ ， ）,表示出再利用M是GH的中點，進(jìn)而可表示出M的坐標(biāo)，根據(jù)2|MO|＜|GH|整理可得，x1x2+y1y2<0，再把x1x2和y1y2的表達(dá)式代入求得m的取值范圍，根據(jù)題意整理可得1＜m＜2。