Question

【題目】已知橢圓：的右頂點為，離心率為，點在橢圓上，點與點關于原點對稱.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）求經過點，且和軸相切的圓的方程；

（3）若，是橢圓上異于，的兩個點，且，點在直線的上方，試判斷的平分線是否經過軸上的一個定點？若是，求出該定點坐標；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）是，.

【解析】

（1）根據點的坐標滿足橢圓方程，結合離心率即可求得橢圓方程；

（2）由（1）中所求即可知點坐標，設出直線方程，根據題意，列方程求解即可；

（3）設出直線、的斜率分別為、，以及兩條直線的方程，聯立橢圓方程，根據韋達定理，求得兩點的坐標，結合//，找到之間的關系，即可容易求得.

（1）由，解得，

所以橢圓的標準方程為：.

（2）設經過點，且和軸相切的圓的圓心為，半徑為，

圓的方程為，由題意可知，因為，在圓上，

所以，解得或，

故所求的圓的方程為或.

（3）設點、分別為、，直線、的斜率分別為、，

聯立直線與橢圓方程，

化簡得，

∵是方程的一個解，∴，則，

同理可得，則，

∴直線的斜率，

又∵且，∴，化簡得，

∴直線、關于直線對稱，即為的角平分線所在的直線，

∴的角平分線經過軸上的定點.