Question

【題目】已知函數(其中是常數，且)，曲線在處的切線方程為.

（1）求的值；

（2）若存在(其中是自然對數的底)，使得成立，求的取值范圍；

（3）設，若對任意，均存在，使得方程有三個不同的實數解，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）.（2）.（3）

【解析】

（1）求出在處的導數，利用斜率和函數值建立等式關系，則可求出的值. （2）由條件可知，原題等價于在上有解，設，即，求導求函數的最值，從而求出的取值范圍. （3）通過求導分析的單調性和最值，分類討論求出的取值范圍.

（1），由題知，且，

解得；

（2）由（1）知，因為存在，使得，

即，設，則需，

，設，則在上恒成立，

即單調遞增，又因為，所以在上恒成立，

即單調遞增，所以，

令，解得；

（3），，

①當時，對任意，易知方程均僅有唯一解，

且當時，，單調遞增，

當時，，單調遞減，

故方程最多有兩個不同的實數解，所以不符合題意；

② 當時，若，則恒成立，單調遞增，

方程最多只有一個實數解，不符題意，

所以對任意，應有，即，

此時，易知方程在上有兩個不同的實數根，

因為，不妨取，則有，列表如下：

		極大值		極小值

由表可知，的極大值為，

因為，所以，

又因為，且，所以，

因為，所以必然存在，

使得方程在區間上均有一個實數解，符合題意；

綜上所述，實數的取值范圍為.