Question

（2012•上海）在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C：2x²-y²=1．
（1）設F是C的左焦點，M是C右支上一點，若|MF|=2

2

，求點M的坐標；
（2）過C的左焦點作C的兩條漸近線的平行線，求這兩組平行線圍成的平行四邊形的面積；
（3）設斜率為k（|k|＜

2

）的直線l交C于P、Q兩點，若l與圓x²+y²=1相切，求證：OP⊥OQ．

Answer 1

分析：（1）求出雙曲線的左焦點F的坐標，設M（x，y），利用|MF|²=（x+

6

2

）²+y²，求出x的范圍，推出M的坐標．
（2）求出雙曲線的漸近線方程，求出直線與另一條漸進線的交點，然后求出平行四邊形的面積．
（3）設直線PQ的方程為y=kx+b，通過直線PQ與已知圓相切，得到b²=k²+1，通過求解

OP

•

OQ

=0．證明PO⊥OQ．

解答：解：（1）雙曲線C₁：

x2

1 2

-

y2

1

=1的左焦點F（-

6

2

，0），
設M（x，y），則|MF|²=（x+

6

2

）²+y²，
由M點是右支上的一點，可知x≥

2

2

，
所以|MF|=

3

x+

2

2

=2

2

，得x=

6

2

，
所以M（

6

2

，±

2

）．
（2）左焦點F（-

6

2

，0），
漸近線方程為：y=±

2

x．
過F與漸近線y=

2

x平行的直線方程為y=

2

（x+

6

2

），即y=

2

x+

3

，
所以

y=- 2 x y= 2 x+ 3

，解得

x=- 6 4 y= 3 2

．
所以所求平行四邊形的面積為S=|OF||y|=

3 2

4

．
（3）設直線PQ的方程為y=kx+b，
因直線PQ與已知圓相切，故

|b|

k2+1

=1，
即b²=k²+1…①，由

y=kx+b 2x 2-y 2=1

，得（2-k²）x²-2bkx-b²-1=0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則

x1+x2= 2kb 2-k2 x1x2= -1-b2 2-k2

，
又y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）．
所以

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²
=

(1+k2)(-1-b2)

2-k2

+

2k2b2

2-k2

+b2
=

-1+b2-k2

2-k2

．
由①式可知

OP

•

OQ

=0，
故PO⊥OQ．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，圓錐曲線的綜合，向量的數量積的應用，設而不求的解題方法，點到直線的距離的應用，考查分析問題解決問題的能力，考查計算能力．