Question

已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求的值域；
（2）當(dāng),時，函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，求函數(shù)的對稱軸；
（3）若圖象上有一個最低點，如果圖象上每點縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，然后向左平移1個單位可得的圖象，又知的所有正根從小到大依次為，，…，…且，求的解析式.

Answer 1

（1）①當(dāng)時，值域為：； ② 當(dāng)時，值域為：；（2）；（3）

試題分析：（1）利用正弦函數(shù)的值域和不等式性質(zhì)即可求出的值域，主要要分與0兩種情況；（2）先由對稱軸過最值點列出關(guān)于的方程，求出，然后將函數(shù)利用設(shè)輔助角公式化為一個角的三角函數(shù)，再利用求對稱軸的方法求出對稱軸；（3）先由設(shè)輔助角公式將函數(shù)化成一個角的三角函數(shù)，利用過最低點，求出輔助角并將用表示出來，即求出的解析式，再根據(jù)題中的圖像變換求出的解析式，再根據(jù)題中已知條件的所有正根從小到大依次為，，…，…且確定參數(shù)，即可得到的解析式.
試題解析：（1）當(dāng)時，
①當(dāng)時，值域為：     ② 當(dāng)時，值域為：
（2）當(dāng)，時，且圖象關(guān)于對稱。
∴    ∴函數(shù)即：∴  由
∴函數(shù)的對稱軸為：
（3）由
（其中，）
由圖象上有一個最低點，所以
∴    ∴
又圖象上每點縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，然后向左平移1個單位可得的圖象，則
又∵的所有正根從小到大依次為，，…，…，且
所以與直線的相鄰交點間的距離相等，根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得以下情況：
（1）直線要么過的最高點或最低點.
即或（矛盾），
當(dāng)時，函數(shù)的,       
直線和相交，且，周期為3（矛盾）
（2）經(jīng)過的對稱中心
即，
當(dāng)時，函數(shù)   
直線和相交，且，周期為6（滿足）
綜上：.
考點:三角函數(shù)圖像與性質(zhì)；圖像變換；邏輯推理能力