Question

數列{b_n}的首項b₁=1，前n項和為S_n，點（n，S_n）、（4，10）都在二次函數y=ax²+bx的圖象上，數列{a_n}滿足=2ⁿ．
（Ⅰ）求證：數列{b_n}是等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）令c_n=（），R_n=+++…+．
試比較R_n與的大小，并證明你的結論．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：∵b₁=1，∴S₁=1
∴點（1，1）、（4，10）都在二次函數y=ax²+bx的圖象上
∴a+b=1，16a+4b=10，解得a=，b=．
∴S_n=n²+n．則n≥2時，S_n-1=（n-1）²+（n-1）．
∴b_n=S_n-S_n-1=n²+n-[（n-1）²+（n-1）]=n（n≥2）．
又b₁=1也適合，所以b_n=n（n∈N₊）．則b_n-b_n-1=1．
∴數列{b_n}是首項為1，公差為1的等差數列．
又=2ⁿ ∴a_n==．
（Ⅱ）證明：∵c_n=（）=•=∴=
∴R_n=+++…+=+++…+①．
∴R_n=，②
兩式相減得R_n=
∴R_n=3-，R_n-=．
所以只需要比較2ⁿ與2n+1的大小即可．
當n=1時，2ⁿ＜2n+1，所以R_n＜，
當n=2時，2ⁿ＜2n+1，所以R_n＜，
當n≥3時，2ⁿ=（1+1）ⁿ=1+n++n+1＞2n+1，所以R_n＞．（12分）
分析：（Ⅰ）先由b₁=1得S₁=1，再利用點（1，1）、（4，10）都在二次函數y=ax²+bx的圖象上求出a=，b=；再利用根據b_n和S_n的關系：b_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求解數列b_n的通項公式即可證：數列{b_n}是等差數列，再代入滿足=2ⁿ．即可求出求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）先求出=，再對其用錯位相減法求和，得到R_n=3-，讓R_n與作差，整理后分類比較大小即可．
點評：本題考查了已知前n項和為S_n求數列{a_n}的通項公式，根據a_n和S_n的關系：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求解數列的通項公式．另外，須注意公式成立的前提是n≥2，所以要驗證n=1時通項是否成立，若成立則：a_n=S_n-S_n-1 （n≥1）；若不成立，則通項公式為分段函數．