Question

如圖1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中點．將△ABE沿AE折起后如圖2，使二面角B-AE-C成直二面角，設F是CD的中點，P是棱BC的中點．
（1）求證：AE⊥BD；
（2）求證：平面PEF⊥平面AECD；
（3）判斷DE能否垂直于平面ABC，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明AE⊥BD，只需證明AE⊥平面BDM，利用△ABE與△ADE是等邊三角形，即可證明；
（2）證明平面PEF⊥平面AECD，只需證明PN⊥平面AECD，只需證明BM⊥平面AECD即可；
（3）DE與平面ABC不垂直．假設DE⊥平面ABC，則DE⊥AB，從而可證明DE⊥平面ABE，可得DE⊥AE，這與∠AED=60°矛盾．
解答：（1）證明：設AE中點為M，
∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中點，∴△ABE與△ADE都是等邊三角形．
∴BM⊥AE，DM⊥AE．
∵BM∩DM=M，BM、DM?平面BDM，
∴AE⊥平面BDM．
∵BD?平面BDM，∴AE⊥BD．
（2）證明：連接CM交EF于點N，∵ME∥FC，ME=FC，∴四邊形MECF是平行四邊形，∴N是線段CM的中點．
∵P是BC的中點，∴PN∥BM．
∵BM⊥平面AECD，∴PN⊥平面AECD．
又∵PN?平面PEF，
∴平面PEF⊥平面AECD．
（3）解：DE與平面ABC不垂直．
證明：假設DE⊥平面ABC，則DE⊥AB，∵BM⊥平面AECD，∴BM⊥DE．
∵AB∩BM=B，AB、BM?平面ABE，∴DE⊥平面ABE．
∵AE?平面ABE，∴DE⊥AE，這與∠AED=60°矛盾．
∴DE與平面ABC不垂直．
點評：本題考查線面垂直，考查面面垂直，考查探究性問題，解題的關鍵是掌握線面垂直，面面垂直的判定方法，屬于中檔題．