Question

如圖1，等腰梯形ABCD中，AB=2，CD=4，∠ADC=∠BCD=60°．取線段CD中點E，將△ADE沿AE折起，如圖2所示．
（1）當平面ADE折到與底面ABCE所成的二面角為90時，如圖3所示，求此時二面角A-BD-C平面角的余弦值．
（2）在將△ADE開始折起到與△ABE重合的過程中，求直線DC與平面ABCE所成角的正切值的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）在圖3中取AE中點O，可取O為原點建立直角坐標系，分別求出平面ABD法向量與平面CBD的法向量，最后利用向量的夾角公式求出夾角的余弦值，即為二面角平面角的余弦值；
（2）在折動過程中，直線DC與平面ABCE所成的角為∠DCF，設DF=t∈，則，設g（t）=，，然后利用導數研究函數g（x）的最值即可求出所求．
解答：
解：（1）在圖3中取AE中點O，建立直角坐標系．
∵平面DAE⊥平面ABCE，DO⊥AE，DO?平面DAE，平面DAE∩平面ABCE=AE
∴DO⊥平面ABCE
易知BA=BE∴BO⊥AC∴可取O為原點建立直角坐標系（2分）

設平面ABD法向量為，平面CBD法向量為
則⇒
∴可取平面ABD法向量

∴可取平面ABD法向量
 （7分）
（2）在圖2中作DF⊥D′B，交D′B于F點．易證DO⊥AE，D'O⊥AE，
∴AE⊥平面DD^′B∴AE⊥DF又DF⊥DB，∴DF⊥面ABCE．
∴在折動過程中，直線DC與平面ABCE所成的角為∠DCF，
設DF=t∈，則．
，
∴，
設g（t）=，，則，
時，
∴時，，
即時，tan∠DCF最大值為．
點評：本題主要考查了利用空間向量度量二面角的平面角以及線面所成角，同時考查了空間想象能力和計算能力，屬于中檔題．