Question

已知函數.
（1）若，求曲線在點處的切線方程；
（2）若函數在其定義域內為增函數，求正實數的取值范圍；
（3）設函數，若在上至少存在一點，使得＞成立，求實數的取值范圍。

Answer 1

（1）．（2）. （3）. 

解析試題分析：（1）當時，函數， ．        　　　　　　　　　　　    
，
曲線在點處的切線的斜率為．   2分
從而曲線在點處的切線方程為，
即．             3分
（2）．                 4分
令，要使在定義域內是增函數，只需在內恒成立.                5分
由題意＞0，的圖象為開口向上的拋物線，對稱軸方程為，∴，
只需，即，
∴在內為增函數，正實數的取值范圍是.       7分
（3）∵在上是減函數，
∴時，； 時，，即， 8分
①當＜0時，，其圖象為開口向下的拋物線，對稱軸在軸的左側，且，∴在內是減函數．
當時，，因為，所以＜0，＜0，
此時，在內是減函數．
故當時，在上單調遞減，不合題意…10分
②當0＜＜1時，由，
所以．
又由（Ⅱ）知當時，在上是增函數，
∴＜，不合題意； 12分
③當時，由（Ⅱ）知在上是增函數，，
又在上是減函數，
故只需