Question

【題目】如圖，圓，點，是圓上任意一點，線段的垂直平分線和半徑相交于點.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）曲線與直線相交于，兩點（點在軸上方），且.點，是曲線上位于直線兩側的兩個動點，且.求四邊形面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）

（2）

【解析】

（1）連接，根據題意可得，可得動點的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓，則方程求可；

（2）由，所以，設直線，聯立，利用韋達定理得，同理得，設四邊形面積為，可得，求其范圍即可.

（1）連接，

根據題意，則，

故動點的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓，設其方程為，

可知，，則，

所以點的軌跡的方程為，

故橢圓的標準方程為；

（2）由題意可知，直線，直線的斜率都存在且不等于0，

因為，所以，

設直線的斜率為，則直線，

設，

由得①

依題意，方程①有兩個不相等的實數根，即根的判別式成立，

即，

化簡得，解得，

因為2是方程①的一個解，所以，

所以，

當方程①的判別式時，，此時直線與橢圓相切，

由題意，可知直線的方程為，

同理，易得，

由于點是橢圓上位于直線兩側的兩個動點，，

且能存在四邊形，則直線的斜率需滿足，

設四邊形面積為，則

，

由于，故，

當時，，即，即.

所以四邊形面積的取值范圍是.